Función

¿Qué es una función?


Las funciones en matemáticas, nos sirven para modelar diversas relaciones entre distintos fenómenos o situaciones, que suceden en nuestra vida cotidiana, que tienen una causa y efecto, por ejemplo, la cantidad de kilómetros por hora recorridos por un vehículo depende de la velocidad, que el área de un cuadrado depende de la longitud de su lado, o que el costo de la producción está en función al valor de los materiales utilizados.



1.1- Conceptos básicos de una función

Una función es una relación entre dos magnitudes o cantidades, por ejemplo x y f(x), de manera que a cada valor de la primera magnitud llamada preimagen, le corresponde un único valor de la segunda, llamada imagen.

La primera magnitud o preimagen se dirá que es la variable independiente y a la segunda magnitud o imagen (que se deduce de la primera) se dirá que es la variable dependiente. Por ejemplo, si la variable independiente es x, la variable dependiente será f (x), que se lee “f de x”, la cual generalmente se designa con la letra y. Entonces, se dirá que y es función de x, o que y depende de x.

Al conjunto inicial o de partida donde están las preimágenes se le llama dominio que se abrevia Dom (f) y al conjunto final o de llegada donde están las imágenes se llama codominio que se abrevia Codom (f).

Al conjunto de todas las imágenes de una función se le llama recorrido (o rango) y se abrevia Rec (f). El recorrido es un subconjunto del conjunto de llegada codominio, donde puede suceder que el recorrido sea un conjunto más pequeño que el codominio o que el recorrido coincida exactamente con el codominio.

Por ejemplo, para una función f de un conjunto A en un conjunto B, la podemos representar matemáticamente de la siguiente forma;





Aquí podemos ver como f (a) representa la transformación del elemento a por la función f lo que da como resultado el elemento b. Se dirá que a es la preimagen de b, o al revés, b o f(a) es la imagen de a al ser procesada por f.

En resumen,

Definición: Dos conjuntos no vacíos, A y B, están relacionados matemáticamente como una función f de A en B, si y sólo si a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B.



- El dominio de f es todo el conjunto A. Dom (f) = A.

- El recorrido de f es un subconjunto de B. Que puede coincidir o no con el codominio.

- El codominio es todo el conjunto B.

- Un elemento del conjunto A no puede tener dos imágenes diferentes en B.

- Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.



Para entender más los conceptos explicados anteriormente, veremos algunos ejemplos;

Ejemplo 1.

Sea la relación f, definida por el diagrama;





Podemos ver que para cada elemento de A, existe una sola imagen en B, por lo tanto, el diagrama sagital corresponde a una función f, pero el recorrido es más pequeño que el codominio. Donde;



- El dominio de f es; Dom (f) = A = {a, b, c}

- El Codominio de f es; Codom (f) = B = {1, 2, 3, 4, 5}

- El recorrido (o rango) es; Rec (f) = {1, 2, 3}



Entonces, los elementos {4,5} no son imagen de ninguna preimagen en A, es decir, no pertenecen al recorrido.