Derivada

CONCEPTO DE DERIVADA

Del latín derivātus, derivada es un término que puede utilizarse como sustantivo o como adjetivo. En este caso, se trata de una noción de la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente.

La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.

El nacimiento y uso de las derivadas en el ámbito matemático, aunque tienen su origen en la Antigua Grecia, podemos establecer que hacen aparición como tal gracias a dos figuras históricas muy importantes: el matemático inglés Isaac Newton y el lógico alemán Gottfried Leibniz.
Y es que los mismos partieron de las teorías y conceptos establecidos por sus antecesores en el tiempo para poder llevar a cabo sus propias aplicaciones y métodos. Así, por ejemplo, Newton descubrió algoritmos, procedió a acometer la re-estructuración de lo que son las bases de cálculos y creó su propio método para realizar el cálculo de las tangentes.

FÓRMULAS BÁSICAS

Bienvenida

¡Hola Bienvenid@ a este espacio!🙌

En este Blog veremos algunos temas de cálculo diferencial, lo que es un dolor de cabeza para algunos y habemos otros que le hemos tomado el gusto.

Para ello me dí a la tarea de abrir este blog, esperando a ayudar a algunas personas con este tema ya sea para sus tareas o por amor al arte (conocimiento).

Bueno, empezaremos por una pequeña introducción. 

 Gracias por tu visita!!😀

Función

¿Qué es una función?


Las funciones en matemáticas, nos sirven para modelar diversas relaciones entre distintos fenómenos o situaciones, que suceden en nuestra vida cotidiana, que tienen una causa y efecto, por ejemplo, la cantidad de kilómetros por hora recorridos por un vehículo depende de la velocidad, que el área de un cuadrado depende de la longitud de su lado, o que el costo de la producción está en función al valor de los materiales utilizados.



1.1- Conceptos básicos de una función

Una función es una relación entre dos magnitudes o cantidades, por ejemplo x y f(x), de manera que a cada valor de la primera magnitud llamada preimagen, le corresponde un único valor de la segunda, llamada imagen.

La primera magnitud o preimagen se dirá que es la variable independiente y a la segunda magnitud o imagen (que se deduce de la primera) se dirá que es la variable dependiente. Por ejemplo, si la variable independiente es x, la variable dependiente será f (x), que se lee “f de x”, la cual generalmente se designa con la letra y. Entonces, se dirá que y es función de x, o que y depende de x.

Al conjunto inicial o de partida donde están las preimágenes se le llama dominio que se abrevia Dom (f) y al conjunto final o de llegada donde están las imágenes se llama codominio que se abrevia Codom (f).

Al conjunto de todas las imágenes de una función se le llama recorrido (o rango) y se abrevia Rec (f). El recorrido es un subconjunto del conjunto de llegada codominio, donde puede suceder que el recorrido sea un conjunto más pequeño que el codominio o que el recorrido coincida exactamente con el codominio.

Por ejemplo, para una función f de un conjunto A en un conjunto B, la podemos representar matemáticamente de la siguiente forma;





Aquí podemos ver como f (a) representa la transformación del elemento a por la función f lo que da como resultado el elemento b. Se dirá que a es la preimagen de b, o al revés, b o f(a) es la imagen de a al ser procesada por f.

En resumen,

Definición: Dos conjuntos no vacíos, A y B, están relacionados matemáticamente como una función f de A en B, si y sólo si a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B.



- El dominio de f es todo el conjunto A. Dom (f) = A.

- El recorrido de f es un subconjunto de B. Que puede coincidir o no con el codominio.

- El codominio es todo el conjunto B.

- Un elemento del conjunto A no puede tener dos imágenes diferentes en B.

- Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.



Para entender más los conceptos explicados anteriormente, veremos algunos ejemplos;

Ejemplo 1.

Sea la relación f, definida por el diagrama;





Podemos ver que para cada elemento de A, existe una sola imagen en B, por lo tanto, el diagrama sagital corresponde a una función f, pero el recorrido es más pequeño que el codominio. Donde;



- El dominio de f es; Dom (f) = A = {a, b, c}

- El Codominio de f es; Codom (f) = B = {1, 2, 3, 4, 5}

- El recorrido (o rango) es; Rec (f) = {1, 2, 3}



Entonces, los elementos {4,5} no son imagen de ninguna preimagen en A, es decir, no pertenecen al recorrido.

Límites

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.


En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.


Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:




si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.


Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:





"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δmayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que εunidades".



Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:








Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades o reglas:

Introducción

¿Qué es el cálculo?

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento.

Es muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días.

Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.

Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. 

Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat.

¿Que es el cálculo diferencial?

El Cálculo Diferencial, es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo infinitesimal. Hace parte de las matemáticas avanzadas. El cálculo diferencial es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo infinitesimal. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.

En el estudio del cambio de una función, es decir, cuando cambian sus variables independientes es de especial interés para el cálculo diferencial el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Pues el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.